壓縮感知：基于L1(Lasso)先驗層析重建?
這個例子顯示了從一組平行的投影中重建圖像，這些投影是沿著不同的角度獲得的。這樣的數據集是在computed tomography (CT)。
如果沒有關于樣本的任何先驗信息，重建圖像所需的投影數是圖像線性大小l的數量級(以像素為單位)。為了簡單起見，我們在這里考慮稀疏圖像，其中只有對象邊界上的像素有一個非零值。例如，這些數據可以與蜂窩式的布局相對應。但是，請注意，大多數圖像都是在不同的基礎上稀疏的，例如Haar wavelets。只獲得1/7的投影，因此有必要使用樣本上現有的先驗信息(其稀疏性)：這是壓縮感知的一個例子。
層析投影運算是一種線性變換。除了對應于線性回歸的數據保真度外，我們還懲罰了圖像的L1范數，以說明其稀疏性。由此產生的優化問題稱為Lasso。我們使用 sklearn.linear_model.Lasso類，它使用坐標下降算法。重要的是，此實現在稀疏矩陣上的計算效率比此處用投影運算更有效。
用l1懲罰進行重建得到了零誤差的結果(所有像素都被成功地標記為0或1)，即使在投影中添加了噪聲也是如此。相比之下，L2懲罰(sklearn.linear_model.Ridge)會產生大量的像素標記錯誤。在重建圖像上觀察到重要的偽影，與L1懲罰相反。特別要注意的是，圓形偽影將角上的像素分隔開來，這使得投影比中央的盤少。
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# Author: Emmanuelle Gouillart <emmanuelle.gouillart@nsup.org>
# License: BSD 3 clause
import numpy as np
from scipy import sparse
from scipy import ndimage
from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.linear_model import Ridge
import matplotlib.pyplot as plt
def _weights(x, dx=1, orig=0):
x = np.ravel(x)
floor_x = np.floor((x - orig) / dx).astype(np.int64)
alpha = (x - orig - floor_x * dx) / dx
return np.hstack((floor_x, floor_x + 1)), np.hstack((1 - alpha, alpha))
def _generate_center_coordinates(l_x):
X, Y = np.mgrid[:l_x, :l_x].astype(np.float64)
center = l_x / 2.
X += 0.5 - center
Y += 0.5 - center
return X, Y
def build_projection_operator(l_x, n_dir):
""" Compute the tomography design matrix.
Parameters
----------
l_x : int
linear size of image array
n_dir : int
number of angles at which projections are acquired.
Returns
-------
p : sparse matrix of shape (n_dir l_x, l_x**2)
"""
X, Y = _generate_center_coordinates(l_x)
angles = np.linspace(0, np.pi, n_dir, endpoint=False)
data_inds, weights, camera_inds = [], [], []
data_unravel_indices = np.arange(l_x ** 2)
data_unravel_indices = np.hstack((data_unravel_indices,
data_unravel_indices))
for i, angle in enumerate(angles):
Xrot = np.cos(angle) * X - np.sin(angle) * Y
inds, w = _weights(Xrot, dx=1, orig=X.min())
mask = np.logical_and(inds >= 0, inds < l_x)
weights += list(w[mask])
camera_inds += list(inds[mask] + i * l_x)
data_inds += list(data_unravel_indices[mask])
proj_operator = sparse.coo_matrix((weights, (camera_inds, data_inds)))
return proj_operator
def generate_synthetic_data():
""" Synthetic binary data """
rs = np.random.RandomState(0)
n_pts = 36
x, y = np.ogrid[0:l, 0:l]
mask_outer = (x - l / 2.) ** 2 + (y - l / 2.) ** 2 < (l / 2.) ** 2
mask = np.zeros((l, l))
points = l * rs.rand(2, n_pts)
mask[(points[0]).astype(np.int), (points[1]).astype(np.int)] = 1
mask = ndimage.gaussian_filter(mask, sigma=l / n_pts)
res = np.logical_and(mask > mask.mean(), mask_outer)
return np.logical_xor(res, ndimage.binary_erosion(res))
# Generate synthetic images, and projections
l = 128
proj_operator = build_projection_operator(l, l // 7)
data = generate_synthetic_data()
proj = proj_operator * data.ravel()[:, np.newaxis]
proj += 0.15 * np.random.randn(*proj.shape)
# Reconstruction with L2 (Ridge) penalization
rgr_ridge = Ridge(alpha=0.2)
rgr_ridge.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l2 = rgr_ridge.coef_.reshape(l, l)
# Reconstruction with L1 (Lasso) penalization
# the best value of alpha was determined using cross validation
# with LassoCV
rgr_lasso = Lasso(alpha=0.001)
rgr_lasso.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l1 = rgr_lasso.coef_.reshape(l, l)
plt.figure(figsize=(8, 3.3))
plt.subplot(131)
plt.imshow(data, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
plt.axis('off')
plt.title('original image')
plt.subplot(132)
plt.imshow(rec_l2, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
plt.title('L2 penalization')
plt.axis('off')
plt.subplot(133)
plt.imshow(rec_l1, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
plt.title('L1 penalization')
plt.axis('off')
plt.subplots_adjust(hspace=0.01, wspace=0.01, top=1, bottom=0, left=0,
right=1)
plt.show()
腳本的總運行時間：(0分10.163秒)
Download Python source code:plot_tomography_l1_reconstruction.py
Download Jupyter notebook:plot_tomography_l1_reconstruction.ipynb